przypomnienie definicji liczby zespolonej

Zanim przejdziemy do postaci algebraicznej liczby zespolonej, przypomnijmy sobie jaka jest definicja liczby zespolonej.

Jest to po prostu para uporzątkowana, czyli jakieś dwie liczby, gdzie ich kolejność ma znaczenie.

$z = (\textcolor{44cadb}{a},\;\textcolor{db529d}{b})$

gdzie:\

$z$ to liczba zespolona\

$\textcolor{44cadb}{a}$ to część rzeczywista liczby zespolonej.\

$\textcolor{db529d}{b}$ to część urojona liczby zespolonej.

postać algebraiczna

inna postać, zwana postacią algebraiczną pozwala na równoważne pokazanie liczby zespolonej jako sumę części rzeczywistej oraz części urojonej.

Zauważ, że w postaci z definicji $i$ w ogóle nie występuje jawnie.

$z = (\textcolor{44cadb}{a},\;\textcolor{db529d}{b})=\textcolor{44cadb}{a}$ + $\textcolor{db529d}{b} i$

jednosta urojona

$i$ to jednostka urojona, która spełnia równanie $i^2 = -1$ \

Można również powiedzieć, że $i$ to pierwiastek kwadratowy z $-1$, czyli $i = \sqrt{-1}$

W dziedzinie liczb rzeczywistych nie można wyciągać pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych, ale w dziedzinie liczb zespolonych takie działanie nie jest niczym niezwykłym. Trzeba po prostu przyjąć, że $i = (-1)^2$. To jest definicja jednostki urojonej.

przykłady

Postać z definicji: $(\textcolor{44cadb}{3}, \textcolor{db529d}{4})$ \

Postać algebraiczna: $\textcolor{44cadb}{3} + \textcolor{db529d}{4}i$

Postać z definicji: $(\textcolor{44cadb}{1}, \textcolor{db529d}{0})$ \

Postać algebraiczna: $\textcolor{44cadb}{1} + \textcolor{db529d}{0}i = \textcolor{44cadb}{1}$

Postać z definicji: $(\textcolor{44cadb}{0}, \textcolor{db529d}{3})$ \

Postać algebraiczna: $\textcolor{44cadb}{0} + \textcolor{db529d}{3}i = {\textcolor{db529d}{3}i}$

Podstawowe działania

postać algebraiczna jest bardziej przyjazna niż postać z definicji do wykonywania różnych działań na liczbach, więc to właśnie z niej korzystamy.

Dodawanie i odejmowanie

dodawanie

Mając takie liczby $z_1$ oraz $z_2$

$z_1 = \textcolor{44cadb}{2} + i$ \

$z_2 = \textcolor{44cadb}{3} + \textcolor{db529d}{3}i$

Ich dodawanie sprowadza się do zsumowania ich części rzeczywistych oraz części urojonych (to co mnożymy przez $i$).

$z_1 + z_2 = \textcolor{44cadb}{2} + i + \textcolor{44cadb}{3} + \textcolor{db529d}{3}i$ $=\textcolor{44cadb}{5} + \textcolor{db529d}{4}i$

odejmowanie

Odejmowanie jest bardzo podobne, jednak tutaj warto skorzystać z nawiasów żeby odpowiednio dostosować znaki. Skorzystamy z tych samych liczb, ale tym razem będziemy odejmować.

$z_1 = \textcolor{44cadb}{2} + i$ \

$z_2 = \textcolor{44cadb}{3} + \textcolor{db529d}{3}i$

$z_1 - z_2 = \textcolor{44cadb}{2} + i - ( \textcolor{44cadb}{3} + \textcolor{db529d}{3}i)$

$=\textcolor{44cadb}{2} + i -  \textcolor{44cadb}{3} - \textcolor{db529d}{3}i$

$=-\textcolor{44cadb}{1} - \textcolor{db529d}{2}i$

Mnożenie

Również mnożenie nie różni się wiele od zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych, poza jednym szczegółem (patrz niżej).

Po prostu mnożymy każdy z każdym, ale liczbę $i^2$ należy zamienić na $-1$ zgodnie z definicją.

$z_1=\textcolor{44cadb}{2}-\textcolor{db529d}{2}i$ \

$z_2=\textcolor{44cadb}{3}-\textcolor{db529d}{4}i$

$z_1*z_2=(\textcolor{44cadb}{2}-\textcolor{db529d}{2}i)(\textcolor{44cadb}{3}-\textcolor{db529d}{4}i)=$ \

$=6-8i-6i+8i^2=$ \

$=6-14i+8i^2=$ (wiemy, że $i^2=-1$, więc w następnym kroku zamieniamy je na tę wartość)  \

$=6-14i+8*(-1) =$ \

$=6-14i-8=$ \

$=\textcolor{44cadb}{-2}\textcolor{db529d}{-14}i$

dzielenie

Aby móc podzielić liczby zespolone w postaci algebraicznej, należy wprowadzić pojęcie sprzężenia liczby zespolonej, który oznacza się za pomocą daszka $\overline{z}$

Jeśli liczba $z=\textcolor{44cadb}{x} + \textcolor{db529d}{y}i$ \

to jej sprzężeniem jest $\overline{z}=\textcolor{44cadb}{x} - \textcolor{db529d}{y}i$

Jedyne co się zmieniło to znak przy części urojonej z $+$ na $-$.

Jeśli liczba $z=\textcolor{44cadb}{x} - \textcolor{db529d}{y}i$ \

to jej sprzężeniem jest $\overline{z}=\textcolor{44cadb}{x} +\textcolor{db529d}{y}i$

Tutaj również zmienił się znak na przeciwny, czyli $-$ na $+$.

Wiedząc to, jesteśmy gotowi do dzielenia. Mamy dane dwie liczby $z_1$ oraz $z_2$.

$z_1=\textcolor{44cadb}{2}\textcolor{db529d}{-4}i$ \

$z_2=\textcolor{44cadb}{5}-i$

Ich podzielenie polega na przemnożeniu całej liczby przez jedynkę w postaci $\textcolor{green}{\frac{\text{sprzężenie mianownika}}{\text{sprzężenie mianownika}}}$.

$\frac{\textcolor{44cadb}{2}+\textcolor{db529d}{4}i}{\textcolor{44cadb}{5}\textcolor{db529d}{-}i}=\frac{\textcolor{44cadb}{2}+\textcolor{db529d}{4}i}{\textcolor{44cadb}{5}\textcolor{db529d}{-}i} * \textcolor{green}{\frac{5+i}{5+i}}$

$=\frac{10+2i+20i+4i^2}{5^2-i^2}$

$=\frac{10+2i+20i+4i^2}{25+1}$

$=\frac{10+2i+20i-4}{26}$

$=\frac{6+22i}{26}=\textcolor{44cadb}{\frac{3}{13}}+\textcolor{db529d}{\frac{11}{13}}i$

odwrotność

Ta operacja jest analogiczna do tego co znasz z liczb rzeczywistych. \

Odwrotność liczby $z$ oznaczana jako $z^{-1}$ to taka liczba, która spełnia równanie:

$zz^{-1} = z^{-1}z =1$

Czyli liczba razy odwrotność jest tym samym co odwrotność razy liczba, czyli jeden.

Inaczej mówiąc, odwrotność to taka liczba:

$z^{-1} = \frac{1}{z}$

Zasady dzielenia są Ci już znane a obliczenie takiego wyniku to nic innego jak podzielenie jeden przez $z$.

potęgowanie

Podnoszenie liczb do potęgi w postaci algebraicznej jest wygodne do momentu, gdy nie zaczynamy operować na jakichś wyższych potęgach. W postaci algebraicznej raczej ograniczamy się do 2 oraz 3 potęgi, jednak wyjątkiem jest tutaj potęgowanie samej jednostki urojonej. Od tego właśnie zaczniemy.

potęgowanie jednostki urojonej

Wiemy, że $i^2$ to $-1$ i ta informacja wraz z zasadami działań na potęgach wystarczy nam do podniesienia $i$ do dowolnej potęgi.

przykład 1

$i^{20}$

Skorzystamy tutaj z zasad potęgowania potęg i rozbijemy naszą liczbę $20$ tak by pojawiła się tutaj potęga $2$, którą potrafimy policzyć.

$(a^n)^m=a^{n*m}$

Potęgę $20$ można zapisać jako $2*10$.\

Skoro $i^2$ to $-1$ to wystarczy następnie podnieść $-1$

do potęgi $10$ i mamy wynik $1$.

$i^{20}=(i^2)^{10}=(-1)^{10}=1$

przykład 2

$i^{123}$

Tutaj liczby $123$ nie rozbijemy na iloczyn $2*x$ bo to przecież liczba nieparzysta. Wyłączymy jedno $i$ przed mnożenie korzystając z innej zasady potęgowania, czyli mnożenia potęg o tej samej podstawie. \

Wykładniki w takiej sytuacji się dodaje.

$a^n *a^m =a^{n+m}$

Po wyłączeniu jednego $i$ przed mnożenie dostajemy parzystą potęgę, w której można odszukać już jakąś wielokrotność dwójki. Wynikiem jest $-1$, którego nie da się już bardziej uprościć.

$i^{123}=i*i^{122}$ $=i*(i^2)^{61}=$ $i*(-1)^{61}=i*(-1)=-i$

przykład 3

$i^5$

Tutaj korzystamy z takiego samego zabiegu jak w poprzednim przykładzie.

$i^5=i*i^4=i*(i^2)^2=i$

konkluzja

Podnoszenie $i$ do dowolnej potęgi może nam dać w wyniku tylko 4 liczby. \

Są to $1, -1, i, -i$

Moduł

Ostatnią operacją omawianą w ramach tej notatki jest moduł liczby zespolonej. \

Moduł to uogólnienie wartości bezwzględnej na dziedzinę liczb zespolonych. \

Moduł jest zawsze liczbą rzeczywistą nieujemną, gdyż jego interpretacja to długość wektora wskazującego daną liczbę na płaszczyźnie.

Wzór

Moduł oznaczamy za pomocą literki $r$, jednak można spotkać się również z zapisem $|z|$, którego również używamy.\

Aby obliczyć moduł sumujemy pod pierwiastkiem kwadrat części rzeczywistej oraz kwadrat części urojonej.

$r=\sqrt{[\textcolor{44cadb}{Re}(z)]^2+[\textcolor{db529d}{Im}(z)]^2}$

Przykładowo, moduł z liczby $z=\textcolor{44cadb}{2}\textcolor{db529d}{-3}i$ obliczymy następująco:

$|z| = r = \sqrt{2^2 + (-3)^2}$ $=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$

Zauważ, że pod pierwiastkiem nie występuje w ogóle jednostka urojona a jedynie część urojona, czyli to przez co mnożymy $i$.