Własności całek

W praktyce do obliczania większości całek oprócz podstawowych wzorów na całki musimy znać dwie bardzo ważne własności:

Własność 1: mnożenie funkcji podcałkowej przez stałą

Stałe pod całką można wyłączyć przed całkę (i na odwrót):

$\int a f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx$

$a$ - dowolna liczba rzeczywista

$f(x)$ - funkcja podcałkowa

Własność 2: suma lub różnica funkcji podcałkowych

Całkę z sumy/różnicy funkcji podcałkowych możemy zapisać jako sumę/różnicę całek:

$\int (\,f(x)\,\pm \,g(x)\,) \,dx = \int f(x) \, dx \,\,\pm \,\, \int g(x) \, dx$

Przykłady zastosowania:

Przykład 1:

$\int \frac{(2x^2-1)^3}{x} \, dx$

Obliczanie całki zaczynamy od uproszczenia funkcji podcałkowej. Korzystamy w tym celu ze wzoru na sześcian różnicy:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Po jego zastosowaniu otrzymamy:

$\int \frac{(2x^2-1)^3}{x} \, dx=$ $\int \frac{8x^6-12x^4+6x^2-1}{x} \, dx$

Teraz rozbijamy ułamek na sumę ułamków co w praktyce sprowadza się do skrócenia iksów:

$\int \frac{8x^6-12x^4+6x^2-1}{x} \, dx =$ $\int \left( 8x^5 -12x^3+6x-\frac{1}{x} \right) \,dx$

Na koniec rozbijamy całkę na sumę/różnicę całek i każdej całki składowej doliczamy się z dedykowanego wzoru:

$\int \left( 8x^5 -12x^3+6x-\frac{1}{x}\right) \,dx =$

$=\int 8x^5\,dx - \int 12x^3\,dx + \int6x\,dx - \int \frac{1}{x}\,dx=$

$=\frac{4x^6}{3}-3x^4+3x^2 - \ln(|x|)+C$

Pamiętamy o dodaniu stałej $C$ do wyniku

Przykład 2:

$\int (5+7x)(3x-4) \, dx$

Aby doliczyć się takiej całki wymnażamy nawiasy:

$\int (5+7x)(3x-4) \, dx =$ $\int15x-20+21x^2-28x \,dx$

Skracamy wyrazy i korzystamy z własności drugiej do rozbicia jej na kilka prostych całek:

$\int \left(15x-20+21x^2-28x \right) \,dx =$ $-\int13x \,dx - \int20\, dx + \int 21x^2\,dx$

Teraz pozostaje doliczyć się każdej całki z osobna co da nam końcowy wynik:

$-\int13x \,dx - \int20\, dx + \int 21x^2\,dx =$ $-\frac{13x^2}{2}-20x +7x^3 +C$

Pamiętaj o dodaniu stałej $C$ do wyniku